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標題:

奧林匹亞決賽題目(有點難度喔)20點~~

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發問:

有一堆彈珠 甲拿1顆後，再拿整袋的5分之1 乙拿1顆後，再拿整袋的5分之1 丙拿1顆後，再拿整袋的5分之1 丁拿1顆後，再拿整袋的5分之1 戊拿1顆後，再拿整袋的5分之1 請問:最少有幾顆彈珠才能輔合以上的式子??(是最少喔) 不適3906我們老師說還有更少!!! 更新: 是要像這樣假設3906: (3906-1)/5=781 (781-1)/5=156 (156-1)/5=31 (31-1)/5=6 (6-1)/5=1 這樣才是這個題目的提議

最佳解答:

設原來有x顆，最後剩y顆，x,y都是整數，列出x,y的關係式： 0.8{0.8{0.8{0.8[0.8(x-1)-1]-1}-1}-1}=y →0.8{0.8{0.8[0.8(x-1)-1]-1}-1}=(5/4)y+1 →0.8{0.8[0.8(x-1)-1]-1}=(5/4)^2*y+(5/4)+1 →0.8[0.8(x-1)-1]=(5/4)^3*y+(5/4)^2+(5/4)+1 →0.8(x-1)=(5/4)^4*y+(5/4)^3+(5/4)^2+(5/4)+1 →x=(5/4)^5*y+(5/4)^4+(5/4)^3+(5/4)^2+(5/4)+1 →x=(3125/1024)y+2101/256 →變成不定方程1024x-3125y=8404 用輾轉相除法縮小係數 3125y+8404≡0(mod 1024) →53y+212≡0(mod 1024) 令53y+212=1024a 1024a-212≡0(mod 53) → 17a+0≡0(mod 53)，a=0符合， 代回53y+212=1024a得y=-4，代回1024x-3125y=8404得x=-4 得特解(x,y)=(-4,-4)故通解為x=-4+3125t , y=-4+1024t，t為整數 故最少3121顆(接下來依序是6246顆、9371顆、12496顆.....，3906顆並不符合) 2011-11-24 17:50:20 補充： 版主您的補充與本文是矛盾的。 (3906-1)/5=781 (781-1)/5=156 (156-1)/5=31 (31-1)/5=6 (6-1)/5=1 若是這樣的話，那應該是每個人拿1顆後，再拿整袋的「5分之4」才對 剩下5分之1，表示拿了5分之4 2011-11-24 17:57:17 補充： 如果是 有一堆彈珠 甲拿1顆後，再拿整袋的5分之4 乙拿1顆後，再拿整袋的5分之4 丙拿1顆後，再拿整袋的5分之4 丁拿1顆後，再拿整袋的5分之4 戊拿1顆後，再拿整袋的5分之4 ---------- (781-1)/5=156 (156-1)/5=31 (31-1)/5=6 (6-1)/5=1 (1-1)/5=0 所以最少是781顆，最後剩0顆(全部拿完) 2011-11-24 18:05:32 補充： 因為781=1+5^1+5^2+5^3+5^4

其他解答:

N = 3121 3121 - 1 = 3121, 3121/5*4 = 2496 2496 - 1 = 2495, 2495/5*4 = 1996 1996 - 1 = 1995, 1995/5*4 = 1596 1596 - 1 = 1595, 1595/5*4 = 1276 1276 - 1 = 1275, 1275/5*4 = 1020|||||3906根本不合. 3906-1=3905 3905*1/5=781 3905-781=3124 3124-1=3123 3123*1/5=???|||||類似題： http://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mid=-2&prev=2235&l=f&fid=38D4CDE60C03A2F1BC
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