標題:
中六數學 - 等比數列(20點)
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發問:
19)在-4咎8兩個數之間插入 (a) 3個數; (b) 7個數, 使該數列形成一個等差數列 答案: a) -1,2,5 b) -2.5,-1,0.5,2,3.5,5,6.5 24)求等差數列-101,-98,-95, ... ,43的 (a)第一個正數項; (b)正數項的項數. 答案: a) 1 b) 15 27)有一個通項為T(n)的等差數列,其第5項是首項的四倍,而數列的第6項又比第3項的兩倍少1. (a)求T(n). (b)若T(m)-T(25)=81,求m的值. 答案: a) T(n)=3n+1 b) 52 更新: 19)在-4"和"8兩個數之間插入
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19)在-4咎8兩個數之間插入 (a) 3個數; (b) 7個數, 使該數列形成一個等差數列 解:(a)首先我們知道-4和8插入 3個數後形成的等差數列一共有5個數， 分別為 -4 , -4+x , -4+2x , -4+3x , 8，這裡x為每項之間的差， 正因為這是等差數列，所以 8 = -4 + 4x。 (-4 , -4+x , -4+2x , -4+3x , -4 + 4x) 解了8 = -4 + 4x，得到 x =3，所以要插入的數字為 -4+x , -4+2x , -4+3x || || || -1 2 5 (其實關鍵在於知道8 = -4 + 4x 及要插入的數字為-4+x , -4+2x , -4+3x) (b)題(a)差不多，只是今次要利用 8= -4 + 8x 及要插入的數字為-4+x , -4+2x , -4+3x,... -4+7x 24)求等差數列-101,-98,-95, ... ,43的 (a)第一個正數項; (b)正數項的項數. 解:(a)-101,-98,-95, ... ,43為等差數列，每項之間的差為3， 留意第n項 = -101 + 3(n-1) 解不等式(inequality) 第n項 >0 -101 + 3(n-1) > 0 n > 104/3 = 34.33 由此我們可以知道n=35是最小的n使得 第n項 >0， 所以 第35項=1 是第1個正數項 (b) 求正數項的項數 由題(a)，我們知道 第1個正數項是 1。 設m為正數項的項數。 正數項分別為 1 , 1+3 , 1+2x3 , ... , 1 + (m-2)x3 , 1+ (m-1)x3 || 43 解 1+ (m-1)x3 = 43，我們知道 m = 15。 27)有一個通項為T(n)的等差數列,其第5項是首項的四倍,而數列的第6項又比第3項的兩倍少1. (a)求T(n). (b)若T(m)-T(25)=81,求m的值. 解:(a)方法:搬字過紙，用字面的解法去setup equation。 設T(1)為a，每項之間的差為k。 我們知道 T(n) = a + k(n-1) 第5項是首項的四倍意思是: 第5項=第1項的四倍 那麼 T(5)= 4 x T(1) a + 4k= 4a 4k = 3a ------ 數列的第6項又比第3項的兩倍少1 意思是: 數列的第6項 - 第3項的兩倍 = -1 T(6) - 2 x T(3) = -1 (a + 5k) - 2 x (a + 2k) = -1 -a + k = -1 ------- 解: 4k = 3a ; -a + k = -1 得到 k=3 ; a=4，所以 T(n) = 4 + 3(n-1) = 3n +1。 解:(b) T(m)-T(25)= 81 3m+1 - (3*25 + 1)= 81
其他解答:
1)在－4和8兩個數之間插入 (a) 3個數; (b) 7個數, 使該數列形成一個等差數列 Sol (a) a1=－4 a5=8=a1+4d=－4+4d=8 d=3 a2=－4+3=－1 a3=－1+3=2 a4=a3+d=2+3=5 So －1，2，5 b) Sol a1=－4 a9=a1+8d=－4+8d=8 d=1.5 So －2.5，－1，0.5，2，3.5，5，6.5 2)求等差數列－101，－98，－95，... ，43的 (a)第一個正數項; (b)正數項的項數. Sol a1=－101 an=a1+(n－1)d an=－101+(n－1)*3>0 3n>104 n>34.66 n>=35 a35=-101+3*34=1 (a)1 (b) 35項 3)有一個通項為T(n)的等差數列，其第5項是首項的四倍，而數列的第6項 又比第3項的兩倍少1. (a)求T(n). (b)若T(m)－T(25)=81，求m的值. Sol (a) T(5)=T(1)+4d=5T(1) d=3T(1)/4 T(1)+5d=2*(T(1)+2d)－1 T(1)+15T(1)/4=2*(T(1)+6T(1)/4)－1 4T(1)+15T(1)=8T(1)+12T(1)－4 T(1)=4，d=3 T(n)=4+(n－1)*3=3n+1 (b) T(25)=3*25+1=76 T(m)－T(25)=81 3m+1－76=81 m=52
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