標題:
number theory of multiples of 11
發問:
點解11的倍數有以下特性 單數位上面的數 減 雙數位上面的數 特出黎的差(不論正負)會是11的倍數? i.e 假設ABCDEFGH是11的倍數(A+C+E+G) - (B+D+F+H) = 11m 例子 11 x 12345 = 135795 (1+5+9) – (3+7+5) = 0 例子 11 x 15467 = 170137 (1+0+3) – (7+1+7) = -11 例子 11 x 35467 = 390137 (3+0+3) – (9+1+7) = -11 好多玩奧數的人都會用呢個方法去試一個數係唔係11的倍數... 顯示更多 點解11的倍數有以下特性 單數位上面的數 減 雙數位上面的數 特出黎的差(不論正負)會是11的倍數? i.e 假設ABCDEFGH是11的倍數 (A+C+E+G) - (B+D+F+H) = 11m 例子 11 x 12345 = 135795 (1+5+9) – (3+7+5) = 0 例子 11 x 15467 = 170137 (1+0+3) – (7+1+7) = -11 例子 11 x 35467 = 390137 (3+0+3) – (9+1+7) = -11 好多玩奧數的人都會用呢個方法去試一個數係唔係11的倍數 但係.....背後的智慧又係咩呢?
最佳解答:
首先，以十進制來說，對於任何一個正整數 x = anan - 1……a1a0我們都可以這種形式寫出： x = an × 10n + an - 1 × 10n - 1 + …… + a1 × 101 + a0 這裡的an、an – 1、……、a1、a0可以從 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中選取， 而an ≠ 0。 重寫成這樣： x = an (11 - 1)n + an - 1 (11 - 1)n - 1 + …… + a1 (11 - 1)1 + a0 然後再用二項式定理拆出後： x = an (11n - nC1 11n - 1 + …… + (- 1)n - 1 nCn - 1 11 + (- 1)n) + an - 1 (11n - 1 - n - 1C1 11n - 2 + …… + (- 1)n - 2 n - 1Cn - 2 11 + (- 1)n - 1) + …… + a1 (11 - 1) + a0 = an (11Kn + (- 1)n) + an - 1 (11Kn - 1 + (- 1)n - 1) + …… + a1 (11 - 1) + a0 = 11(an Kn + an - 1 Kn - 1 + …… + a1) + ((- 1)n an + (- 1)n - 1 an - 1 + …… - a1 + a0) 由此可見，前半部分必可被11整除，所以只要 後半部分(- 1)n an + (- 1)n - 1 an - 1 + …… - a1 + a0 也能被11整除，x便為11的倍數。 但此判別式(- 1)n an + (- 1)n - 1 an - 1 + …… - a1 + a0 並不好記，因此我們要把它轉換成其他形式。 當n是雙數，即是n = 2k，k是任何正整數， 那麼(- 1)n an + (- 1)n - 1 an - 1 + …… - a1 + a0 = (- 1)2k a2k + (- 1)2k - 1 a2k - 1 + (- 1)2k - 2 a2k - 2 + (- 1)2k - 3 a2k - 3 + …… - a1 + a0 = a2k - a2k - 1 + a2k - 2 - a2k - 3 + …… - a1 + a0 = (a2k + a2k - 2 + …… + a0) - (a2k - 1 + a2k - 3 + …… + a1) 當n是單數，即是n = 2k + 1，k是任何正整數， 那麼(- 1)n an + (- 1)n - 1 an - 1 + …… - a1 + a0 = (- 1)2k + 1 a2k + 1 + (- 1)2k a2k + (- 1)2k - 1 a2k - 1 + (- 1)2k - 2 a2k - 2 + …… - a1 + a0 = - a2k + 1 + a2k - a2k - 1 + a2k - 2 + …… - a1 + a0 = (a2k + a2k - 2 + …… + a0) - (a2k + 1 + a2k - 1 + …… + a1) = - ((a2k + 1 + a2k - 1 + …… + a1) - (a2k + a2k - 2 + …… + a0)) 意思即是說，將x的奇數位的數字之總和跟偶數位的數字之總和相減（不論奇數位的數字之總和減去偶數位的數字之總和還是偶數位的數字之總和減去奇數位的數字之總和都沒有問題，若此為0或11的倍數（不論正負），則x便是11的倍數。 就此，這個家傳戶曉的判別11整除性的方法就是這樣而來的。 資料來源： http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7007080405336 + 自己重新整理
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ABCDEFGH=A(11-1)^7 +B(11-1)^6 +... +G(11-1) +H consider X(11-1)^n if n is odd , using binomial thm, when it is divided by 11, remainder is -X if n is even, remainder is X therefore, by taking sum, result follows
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